四、 机械能、动量与功 (Energy & Momentum)

（一）功与功率

1. 做功的两个必要因素：作用在物体上的力；物体在力的方向上通过的一段距离。
2. 功的大小计算：通用公式 $W = Fs\cos\theta$ 或 $W = Pt$。单位为焦耳（$\text{J}$），$1\text{ J} = 1\text{ N}\cdot\text{m}$。
   • 功的原理：使用任何机械都不省功（人们所做的功不少于不用机械直接手动做的功）。
3. 功率 $P$：表示物体做功快慢的物理量。
   • 公式：$P = \frac{W}{t} = \frac{Fs}{t} = Fv$。单位为瓦特（$\text{W}$），$1\text{ W} = 1\text{ J/s}$。

（二）机械效率与机械能

1. 功的分类：有用功（$W_{\text{有}}$）为达到工作目的必须要做的功；额外功（$W_{\text{额}}$）为克服机械自重与摩擦不得不做但无用的功。总功 $W_{\text{总}} = W_{\text{有}} + W_{\text{额}}$。
2. 机械效率 $\eta$：有用功跟总功的比值。
   • 公式：$\eta = \frac{W_{\text{有}}}{W_{\text{总}}} \times 100\%$。
   • 特性：由于摩擦阻力存在，机械效率总是小于 $100\%$（符合热力学第三定律）。机械效率不是机械的固有属性，与被提升物重有关，与速度 $v$、高度 $h$ 无关。
3. 能量形式：
   • 重力势能：$E_p = Gh = mgh$。
   • 弹性势能：$E_p = \frac{1}{2}kx^2$。
   • 动能：$E_k = \frac{1}{2}mv^2$。
   • 机械能守恒定律：在没有摩擦阻力、只有重力或系统内弹力做功的条件下，系统机械能总量保持不变。 公式：$E_k + E_p = E_k' + E_p'$ ；从高处自由下落时满足 $mgH = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gH}$。

（三）动能定理与动量守恒

1. 动能定理：合外力做的功等于动能的变化量。$\Sigma W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$。合外力作正功，物体动能增加；合外力作负功，物体动能减小。
2. 重力做功与重力势能：重力作正功，重力势能减小；重力作负功，重力势能增加（$W_G = -\Delta E_p = mgh$ 在数值上相等，功只与初末位置有关，与路径无关）。
3. 动量定理与守恒定律：
   • 动量定理关系式：$I = \Delta p \Rightarrow F\cdot t = mv - mv_0$。动量（$p=mv$）与动能关系：$p^2 = m^2v^2 = 2mE_k$。
   • 动量守恒定律：系统不受外力或外力远小于内力时总动量守恒。$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$。若在某个特定方向上外力分量为零，则该方向上动量分量守恒。公式中速度必须是对地速度。
4. 碰撞精准定量解分类：
   • 弹性碰撞（无动能损失）：动量守恒且机械能守恒。 若 $m_2$ 初状态静止（$v_2 = 0$），碰撞后的速度精准解为： $$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1}{m_1 + m_2}$$ $$v_2' = \frac{2m_1v_1}{m_1 + m_2}$$
     • 特例：若 $m_1 = m_2$，则 $v_1' = 0, v_2' = v_1$（两球完全交换速度）。
     • 特例：若 $m_1 > m_2$，则 $v_1' > 0, v_2' > 0$（两球均向前运动）。
     • 特例：若 $m_1 < m_2$，则 $v_1' < 0, v_2' > 0$（质量小的 $m_1$ 被反弹回来）。
     • 特例：若 $m_2 \rightarrow \infty$，则 $m_1$ 以原速率反向弹回。
   • 完全非弹性碰撞：碰后两物体粘在一起以相同速度运动（$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v'$），这种情况系统总动能损失最大，损失的动能完全转化为内能。
   • 一般碰撞：仅满足动量守恒 $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$。