三、 力学 (Mechanics)

（一）力的基础概念

1. 定义：一个物体（施力物体）对另一个物体（受力物体）的作用。包含推、拉、提、压、排斥、吸引等动作，发生在两个物体之间。
2. 特点：物体间力的作用是相互的，这两个力互称为作用力与反作用力。
   • 作用力与反作用力特性：等大、反向、共线，作用在相互作用的两个不同物体上。
3. 力的作用效果：改变物体的运动状态（速度大小或方向改变）；使物体发生形变（弹性形变、塑性形变）。
4. 力的三要素：力的大小、方向、作用点。
   • 单位：牛顿（N），表示使 $1\text{kg}$ 物体产生 $1\text{m/s}^2$ 加速度时所受的力。
5. 力的表示方法：
   • 力的示意图：沿着力的方向画带箭头的线段，表示受力方向与作用点。
6. 力的测量与弹簧定量分析（胡克定理应用）：
   • 测量工具：弹簧测力计。
   • 弹簧串联定量推导： 当串联弹簧受外力 $a$ 时，各弹簧弹力均为 $a$。 第一根弹簧伸长量 $x_1 = \frac{a}{k_1}$，第二根弹簧伸长量 $x_2 = \frac{a}{k_2}$。 总伸长量 $x_1 + x_2 = \frac{a}{k_1} + \frac{a}{k_2}$。 结合等效方程 $a = k_{\text{串}}X$，可得串联总劲度系数满足： $$\frac{1}{k_{\text{串}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$$
   • 弹簧并联定量推导： 当发生相同形变 $x$ 时，两根弹簧共同分担外力 $a$。 $a = k_1x + k_2x = (k_1 + k_2)x$。 结合等效方程 $a = k_{\text{并}}x$，可得并联总劲度系数满足： $$k_{\text{并}} = k_1 + k_2$$

（二）万有引力与重力

1. 万有引力定律：$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ （$G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$）。
   • 卫星环绕运行速度：$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM_e}{R_e + h}}$ （运行速度随半径增大而减小）。
   • 同步卫星半径为一确定值。绕地作圆周运动的所有卫星均满足 $\frac{T^2}{r^3}$ 为恒量（开普勒第三定律）。
   • 宇宙速度对照表：
     • 第一宇宙速度（环绕速度）：$7.9\text{ km/s}$
     • 第二宇宙速度（脱离速度）：$11.2\text{ km/s}$
     • 第三宇宙速度（逃逸速度）：$16.7\text{ km/s}$
2. 重力 $G$：地面及地面附近的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。
   • 三要素：大小 $G = mg$（$g \approx 9.8\text{ N/kg}$）；方向竖直向下；作用点在重心（质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心）。其大小随地理位置和高度改变而改变。

（三）弹力与摩擦力

1. 弹力：物体发生弹性形变而产生的力。施力物体是发生形变的物体。
   • 三要素：大小满足胡克定律 $F = k\cdot\Delta x$；方向指向物体恢复形变的方向；作用点在受力物体上。
2. 摩擦力：
   • 产生条件：物体间相互接触且发生挤压形变；存在相对运动或相对运动趋势。
   • 滑动摩擦力：方向总与相对运动方向相反。大小公式 $f = \mu N$（$\mu$ 为动摩擦因数，$N$ 为正压力）。作用点在受力物体接触面上。
   • 静摩擦力：方向与相对运动趋势方向相反；大小由二力平衡求解。
   • 调节摩擦的方法：
     • 增大有益摩擦：增大压力、使接触面更粗糙。
     • 减小有害摩擦：减小压力、使接触面更光滑、加润滑油使接触面分开、变滑动为滚动。
   • 静摩擦受力分析经典案例：
     • 当木块 A、B、C、D 叠放重力均为 $G$ 时，在两侧水平挤压力作用下处于静止：A 与墙壁间的静摩擦力、各物体间的相对运动趋势平衡，需利用隔离法通过受力平衡进行逐层定量求解。

（四）力和运动与牛顿定律

1. 伽利略理想斜面实验推翻了“力是维持运动的原因”的传统错误认知，确立了力是改变运动状态的原因。
2. 力和运动状态改变的关系：力的方向与运动方向一致时做加速直线运动（如自由落体）；力与运动方向相反时做减速直线运动（如竖直上抛）；力与运动方向成夹角时做曲线（匀变速或变加速）运动。
3. 惯性：物体保持运动状态不变的性质。
4. 牛顿三大定律：
   • 牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
   • 牛顿第二定律：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度方向与合力方向相同。公式：$F_{\text{合}} = ma$。
   • 牛顿第三定律：力的作用是相互的，作用力与反作用力等大反向。

（五）力的合成、分解与平衡

1. 力的合成：遵循平行四边形定则。
   • 同一直线上：同向 $F = F_1 + F_2$；反向 $F = |F_1 - F_2|$，合力方向与较大力相同。
   • 互成角度的两个力的合力公式：$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta}$。
   • 合力方向正切值：$\tan\alpha = \frac{F_2\sin\theta}{F_1 + F_2\cos\theta}$。
   • 合力取值范围：$|F_1 - F_2| \le F \le F_1 + F_2$。
   • 力的减法（矢量差）：$\Delta F = F_1 - F_2 = F_1 + (-F_2)$。
2. 力的分解：常用正交分解法， $F_x = F\cos\theta$， $F_y = F\sin\theta$。
3. 物体的平衡条件：
   • 质点共点力平衡：$\Sigma F = 0$。在二力作用下平衡时二力等大、反向、共线；在三力作用下平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向、共线。即 $\Sigma F_x = 0$， $\Sigma F_y = 0$。
   • 固定轴转动平衡（力矩平衡）：$\Sigma M = 0$（力矩 $M = F\cdot L$，所有逆时针转动的力矩之和等于所有顺时针转动的力矩之和）。